JUNIO 2001
Para el accionamiento de un motor eléctrico, un contactor R está gobernado por la acción combinada de tres finales de carrera A, B y C, que deben reunir las siguientes condiciones para que el motor pueda funcionar:
1°) A accionado, B y C en reposo.       3°) C accionado, A y B en reposo.
2°) B y C accionados, A en reposo.     4°) A y C accionados, B en reposo.
Diseñar el circuito mínimo de puertas lógicas que cumple con dichas condiciones.

SOLUCIÓN:

Tres entradas: finales de carrera A, B y C.
Una salida: contactor R que acciona el motor.
Cuando los finales de carrera están accionados valor lógico asignado "1" (A, B, C).
Cuando los finales de carrera no están accionados valor lógico asignado "0" (A´, B´, C´).
Cuando el contactor R está cerrado accionando el motor valor lógico "1" (R).
Cuando el contactor R está abierto no accionando el motor valor lógico asignado "0" (R´).
Realizamos la Tabla de Verdad: colocamos un "1" en las combinaciones de los finales de carrera que hacen funcionar el motor en la columna R.

Entradas Salida  
A B C R
0
0
0
 0
0
0
1
 1 A´B´C
0
1
0
 0  
0
1
1
 1 A´BC
1
0
0
 1 AB´C´
1
0
1
 1 AB´C
1
1
0
 0  
1
1
1
 0

Sacamos la funcion lógica del contactor R: será la suma de las combinaciones de entrada que den un "1" en la columna R. Recordamos que un "0" en la entrada A se escribirá A´ y un "1" A, y así para las entradas B y C .

R

Para simplificar estas funciones utilizamos el mapa de Karnaugh: en una tabla colocamos las combinaciones de las entradas A y B en una fila y la C en la columna. Las combinaciones de A y B no pueden cambiar de estado lógico las dos a la vez en dos columnas consecutivas del mapa.

C AB 00 01 11 10
0
        
1
        

Simplificación para R: se colocan los valores de R de la tabla de verdad en las celdas correspondientes del mapa de Karnaugh.

C AB 00 01 11 10
0
0
0
0
1
1
1
1
0
1

El mapa de Karnaugh no es más que la Tabla de Verdad dispuesta de otra manera.

Simplificación: seleccionamos los "1"s del mapa de tal manera que los asociemos adyacentes en potencias de 2 ( 1, 2, 4, 8, etc), con las asociaciones más grandes posibles y la menor cantidad de ellas, sin dejar ningún "1" sin seleccionar. Los "1"s pueden pertenecer a varias asociaciones y las dos columnas de los extremos son adyacentes entre sí.

En las asociaciones elegidas las entradas que cambian de estado se eliminan de la combinación:

En los dos "1"s verticales la C pasa de "0" a "1", tenemos:
AB´
En los horizontales de la izquierda es B quien cambia:
A´C

Por tanto, la función lógica de R simplificada es:
R=AB´+A´C

Necesitamos dos inversores (para A´ y B´), dos puertas AND de dos entradas (para AB´ y A´C) y una puerta OR de dos entradas (para la suma de AB´ y A´C).

Podríamos hacerlo sólo con puertas NOR o NAND a ver si se necesitan menos puertas:

Para implementarla con puertas NAND negamos dos veces la función y aplicamos las leyes de Morgan:

R´´

Hemos aplicado la ley de Morgan de la suma con dos términos a la primera negación: la suma negada de varios términos es igual al producto de dichos términos negados: P´Q´. En nuestra función P y Q

Como la función lógica de una puerta NAND es NOAB, ya tenemos en nuestra función dos puertas NAND de dos entradas: NOAB´ y NOA´C. Ahora, estos dos términos están multiplicados y luego todo negado, por lo que es otra puerta NAND con dos entradas:NOAB´ y NOA´C. Como tenemos dos entradas negadas A´ y B´ necesitamos otras dos puertas NAND. En total necesitamos 5 puertas NAND de dos entradas. Este sería el esquema:

Para implementarla con puertas NOR partimos de la función expresada en puertas NAND y aplicamos la ley de Morgan:

Nor

Hemos aplicado la ley de Morgan del producto con dos términos a las primeras negaciones: el producto negado de varios términos es igual a la suma de dichos términos negados: NOPQ. En nuestra función A´+B y A+C´. Volvemos a aplicar lo mismo a la negación del paréntesis más exterior, donde ahora P y Q.

Como la función lógica de una puerta NOR es NOR, ya tenemos en nuestra función dos puertas NOR de dos entradas: (A´+B)´ y (A+C´)´. Ahora, estos dos términos están sumados, por lo que en otra puerta NOR con dos entradas: (A´+B)´ y (A+C´)´, nos quedaría NOR´, por lo que deberíamos invertir esto con otra puerta NOR . Como tenemos dos entradas negadas A´ y B´ necesitamos otras dos puertas NOR. En total necesitamos 6 puertas NOR de dos entradas. Este sería el esquema:

Recordamos como se puede hacer la inversión de una entrada con puertas NAND o puertas NOR: Tabla de Verdad de la puerta NAND o puerta NOR con las dos entradas iguales:

A A A´
0
0
1
1
1
0