EJERCICIO 37 (Examen del Plan Nuevo Electrónica Digital septiembre 2007/8 reserva)

Dada la siguiente Tabla de Verdad:

tabla

Determine cuál es su función canónica en minitérminos (minterms):

minterms

Determine cuál es su función canónica en maxitérminos (maxterms):

maxterms

Simplifique la expresión por el método de Karnaugh:

expresión

SOLUCIÓN:

Una función lógica se puede expresar mediante dos formas canónicas:

a) Suma de minterms.

b) Producto de maxterms.

a) Los minitérminos (minterms) son el producto de todas las entradas, asociando la variable natural (a, b, c, d) si toma el valor 1 en la tabla de verdad y negada (a´, b´, c´, d´) si toma el valor 0. Se representa por mi los productos canónicos, con "i" igual al valor decimal de la combinación binaria que se obtiene al sustituir por 1 las variables que aparecen (en el producto canónico) en forma natural y por 0 a las que lo hacen en forma negada.

b) Los maxitérminos (Maxterms) son la suma de todas las entradas, asociando la variable negada (a´, b´, c´, d´) si toma el valor 1 en la tabla de verdad y sin negar (a, b, c, d) si toma el valor 0. Se representa por M i las sumas canónicas, con "i" igual significado que en los productos canónicos.

En la siguiente tabla tenemos los minitérminos y los maxitérminos para cuatro entradas a, b, c y d, así como el valor de la salida f:

d c b a Maxterms minterms f
0
0
0
0
M15 = d+c+b+a
m0 = d´c´b´a´
0
0
0
0
1
M14 = d+c+b+a´
m1 = d´c´b´a
0
0
0
1
0
M13 = d+c+b´+a
m2 = d´c´ba´
1
0
0
1
1
M12 = d+c+b´+a´
m3 = d´c´ba
1
0
1
0
0
M11 = d+c´+b+a
m4 = d´cb´a´
1
0
1
0
1
M10 = d+c´+b+a´
m5 = d´cb´a
1
0
1
1
0
M9 = d+c´+b´+a
m6 = d´cba´
1
0
1
1
1
M8 = d+c´+b´+a´
m7 = d´cba
1
1
0
0
0
M7 = d´+c+b+a
m8 = dc´b´a´
0
1
0
0
1
M6 = d´+c+b+a´
m9 = dc´b´a
0
1
0
1
0
M5 = d´+c+b´+a
m10 = dc´ba´
0
1
0
1
1
M4 = d´+c+b´+a´
m11 = dc´ba
0
1
1
0
0
M3 = d´+c´+b+a
m12 = dcb´a´
1
1
1
0
1
M2 = d´+c´+b+a´
m13 = dcb´a
0
1
1
1
0
M1 = d´+c´+b´+a
m14 = dcba´
1
1
1
1
1
M0 = d´+c´+b´+a´
m15 = dcba
1

La función lógica se puede expresar como suma de minitérminos (minterms), donde aparecerán aquellos que en la tabla de verdad la salida f valga "1":

f = m2 + m3 + m4 + m5+ m6 + m7 + m12 + m14 + m15

por tanto, observando la tabla, la respuesta correcta es:

d) f

La función lógica se puede expresar también, como producto de maxitérminos (Maxterms), donde aparecerán aquellos que en la tabla de verdad la salida f valga "0":

f = M 2M 4M5M 6M 7M 14M 15

por tanto, la respuesta correcta es:

b) f

El mapa de Karnaugh es la tabla de verdad dispuesta de otra manera: en una tabla colocamos las combinaciones de las entradas a y b en una columna y las de c y d en la fila. Las combinaciones de c y d no pueden cambiar de estado lógico las dos a la vez en dos filas consecutivas del mapa y tampoco las de a y b.

Esta es la representación del mapa de Karnaugh con minterms.

dc ba
00
01
11
10
00
m0
m1
m3
m2
01
m4
m5
m7
m6
11
m12
m13
m15
m14
10
m8
m9
m11
m10

Simplificación por unos: seleccionamos los "1"s del mapa de tal manera que los asociemos adyacentes en potencias de 2 ( 1, 2, 4, 8, etc), con las asociaciones más grandes posibles y la menor cantidad de ellas, sin dejar ningún "1" sin seleccionar. Los "1"s pueden pertenecer a varias asociaciones y las dos columnas (y filas) de los extremos son adyacentes entre sí.

En las asociaciones elegidas las entradas que cambian de estado se eliminan de la combinación:

En los cuatro unos superiores de la derecha cambian c y a:

d´c´ba´ + d´c´ba + d´cba´ + d´cba = d´b (c´a´ + c´a + ca´ + ca) = d´b

En los cuatro unos horizontales cambian a y b:

d´cb´a´ + d´cb´a + d´cba´ + d´cba = d´b (b´a´ + b ´a + ba´ + ba) = d´c

En los cuatro unos laterales cambian b y d:

d´cb´a´ + d´cba´ + dcb´a´ + dcba´ = ca ´ (d´b´ + d ´b + db´ + db) = ca ´

En los cuatro unos centrales de la derecha cambian d y a:

d´cba´ + d´cba + dcba´ + dcba = cb (d´a´ + d ´a + da´ + da) = cb

Por tanto, la función lógica f simplificada es la respuesta:

f (d, c, b, a) = d´b + d´c + ca´ + cb