EJERCICIO 16 (Examen del Plan Nuevo Electrónica Digital Junio 2005/6 2 ª Semana)
A partir del siguiente circuito lógico:
Exprese el valor de su función lógica reducida f(d,c,b,a).
a) f(d,c,b,a)=(a´+b´)(a´+c´)(b´+c´+d´)
b) f(d,c,b,a)=(a+b)´(a+c)´(b+c+d)´
c) f(d,c,b,a)=((a+b)´(a+c)´(b+c+d)´)´
d) f(d,c,b,a)=(a+b)(a+c)(b+c+d)
Reduzca la siguiente función de Maxterms por ceros de Karnaugh: f = M3M5M7M11M13M14M15 e indique el resultado obtenido:
a) f(d,c,b,a)=((a+b)´(a+c)´(b+c+d)´)´
b) f(d,c,b,a)=(a+b)(a+c)(b+c+d)
c) f(d,c,b,a)=(a´+b´)(a´+c´)(b´+c´+d´)
d) f(d,c,b,a)=(a+b)´(a+c)´(b+c+d)´
Exprese la función canónica en productos canónicos o mínterms.
a) m15 +m14+ m13+ m11+ m9+ m7+ m6+ m5+ m3
b) m15 +m14+ m13+ m11+ m7+ m5+ m3
c) m12 +m10+ m8+ m4+ m2+ m1+ m0
d) m12 +m11+ m9+ m8+ m6+ m3+ m2+ m1+ m0
SOLUCIÓN:
Para conocer la ecuación de la función que representa el circuito, vamos analizando la salida que se produce en cada puerta según las entradas que tiene y la operación que realiza dicha puerta, empezando por las entradas iniciales. El circuito consta sólo de puertas NOR. Una puerta NOR con dos entradas a y b, su salida es (a+b)´.
Cuando una puerta NOR tiene iguales las dos entradas la salida es la inversa de la entrada. Recordamos cómo se puede hacer la inversión de una entrada con puertas NOR: Tabla de Verdad de la puerta NOR con las dos entradas iguales:
Así, seguimos el circuito colocando las salidas de cada puerta en función de sus entradas hasta llegar a la salida final:
Así, la salida f (d,c,b,a)=((a+b)´+(a+c)´+(b+c+d)´)´.
Si aplicamos la ley de Morgan para la negación de la suma:
(A+B+C)´= A´B´C´
haciendo el término A=(a+b)´; el término B=(a+c)´ y el el término C= (b+c+d)´, nos queda la solución b) f(d,c,b,a)=(a+b)(a+c)(b+c+d)
Reduzca la siguiente función de Maxterms por ceros de Karnaugh: f = M3M5M7M11M13M14M15 e indique el resultado obtenido:
a) f(d,c,b,a)=((a+b)´(a+c)´(b+c+d)´)´
b) f(d,c,b,a)=(a+b)(a+c)(b+c+d)
c) f(d,c,b,a)=(a´+b´)(a´+c´)(b´+c´+d´)
d) f(d,c,b,a)=(a+b)´(a+c)´(b+c+d)´
Exprese la función canónica en productos canónicos o mínterms.
a) m15 +m14+ m13+ m11+ m9+ m7+ m6+ m5+ m3
b) m15 +m14+ m13+ m11+ m7+ m5+ m3
c) m12 +m10+ m8+ m4+ m2+ m1+ m0
d) m12 +m11+ m9+ m8+ m6+ m3+ m2+ m1+ m0
Los Maxterms son la suma de todas las entradas, asociando la variable negada (a´, b´, c´ y d´) si toma el valor 1 en la tabla de verdad y sin negar (a, b, c y d) si toma el valor 0. Se representa por M i las sumas canónicas, con "i" igual al valor decimal de la combinación binaria que se obtiene al sustituir por 1 las variables que aparecen (en el producto canónico) en forma natural y por 0 a las que lo hacen en forma negada.. En la siguiente tabla tenemos los Maxterms para cuatro entradas a, b, c y d. En la tabla de verdad de f , en el Maxterm que aparece en la expresión de f se coloca un cero.
| d | c | b | a | Maxterms | f |
|---|---|---|---|---|---|
0 |
0 |
0 |
0 |
M15= a+b+c+d |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
M14= a´+b+c+d |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
M13= a+b´+c+d |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
M12= a´+b´+c+d |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
M11= a+b+c´+d |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
M10= a´+b+c´+d |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
M9= a+b´+c´+d |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
M8= a´+b´+c´+d |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
M7= a+b+c+d´ |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
M6= a´+b+c+d´ |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
M5= a+b´+c+d´ |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
M4= a´+b´+c+d´ |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
M3= a+b+c´+d´ |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
M2= a´+b+c´+d´ |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
M1= a+b´+c´+d´ |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
M0= a´+b´+c´+d´ |
1 |
El mapa de Karnaugh es la tabla de verdad dispuesta de otra manera: en una tabla colocamos las combinaciones de las entradas d y c en una columna y las de b y a en la fila. Las combinaciones de d y c no pueden cambiar de estado lógico las dos a la vez en dos filas consecutivas del mapa y tampoco las de b y a..
| dc | ba | 00 |
01 |
11 |
10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 00 |
0 |
0 |
1 |
0 |
|
01 |
0 |
1 |
1 |
1 |
|
| 11 | 0 |
1 |
1 |
1 |
|
| 10 | 0 |
1 |
1 |
0 |
|
En las posiciones de las combinaciones de las variables (a, b, c y d) se ponen los "1"s y "0"s de la función f en las mismas combinaciones que en la tabla de verdad de la función. Simplificación por ceros: seleccionando los "0"s del mapa de tal manera que los asociemos adyacentes en potencias de 2 ( 1, 2, 4, 8, etc), con las asociaciones más grandes posibles y la menor cantidad de ellas, sin dejar ningún "0" sin seleccionar. Los "0"s pueden pertenecer a varias asociaciones y las dos columnas (y filas) de los extremos son adyacentes entre sí. En las asociaciones elegidas las entradas que cambian de estado se eliminan de la combinación y aparecen las variables con su valor sin negar (a, b, c y d) si su valor en la combinación es 0 y con su valor negado (a´, b´, c´ y d´) si su valor es 1.
Por tanto, la respuesta correcta es b) f(d,c,b,a)=(a+b)(a+c)(b+c+d).
El circuito del enunciado tiene como función la misma que la función dada por Maxterms f = M3M5M7M11M13M14M15 :
Los minterms son el producto de todas las entradas, asociando la variable natural (a, b, c y d) si toma el valor 1 en la tabla de verdad y negada (a´, b´, c´y d´)si toma el valor 0. Se representa por mi los productos canónicos, con "i" igual al valor decimal de la combinación binaria que se obtiene al sustituir por 1 las variables que aparecen (en el producto canónico) en forma natural y por 0 a las que lo hacen en forma negada. En la siguiente tabla tenemos los minterms para cuatro entradas a, b, c y d y el valor de f:
| d | c | b | a | minterms | f |
|---|---|---|---|---|---|
0 |
0 |
0 |
0 |
m0= a´b´c´d´ |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
m1= ab´c´d´ |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
m2= a´bc´d´ |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
m3= abc´d´ |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
m4= a´b´cd´ |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
m5= ab´cd´ |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
m6= a´bcd´ |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
m7= abcd´ |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
m8= a´b´c´d |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
m9= ab´c´d |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
m10= a´bc´d |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
m11= abc´d |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
m12= a´b´cd |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
m13= ab´cd |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
m14= a´bcd |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
m15= abcd |
1 |
Los minterms que aparecen en la expresión canónica de la función son los que corresponden a un uno de la función en la tabla de verdad. Por tanto, la respuesta es a) m15 +m14+ m13+ m11+ m9+ m7+ m6+ m5+ m3.