EJERCICIO 12
Realice las siguientes conversiones de funciones lógicas digitales:
Exprese la siguiente función como sumas canónicas o Maxterms.
a) f = M0M1M2M3M5M6M8M9M10M11M14
b) f = M1M2M3M4M5M6M8M9M10M11M14
c) f = M1M2M3M4M5M6M7M8M10M12M14
d) f = M0M1M2M4M5M6M7M8M10M12M14
Exprese como sumas de minterms:
f = M1M2M3M4M5M6M7M8M10M12M14
a) f = m1+m2+m4+m12+m15
b) f = m1+m2+m4+m12+m15
c) f = m0+m2+m4+m6+m15
d) f = m0+m2+m4+m12+m15
¿Qué término podría añadirse a la función lógica f = m0+m2+m3+m8+m11 para optimizar la simplificación por el mapa de Karnaugh?
a) m10
b) m14
c) m15
d) m9
SOLUCIÓN:
Una función lógica puede representarse de dos formas diferentes:
a) Tabla de verdad. En ella figuran todas las combinaciones posibles de las variables de entrada y el valor correspondiente de la función para cada una de ellas. La tabla de verdad para una función es única. Por ejemplo, para la función lógica del enunciado , realizamos las operaciones lógicas de su expresión para cada combinación de entradas y resulta:
| D | C | B | A | |
f |
|---|---|---|---|---|---|
0 |
0 |
0 |
0 |
 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
 |
0 |
b) Expresión matemática. Como combinación de variables relacionadas por las tres operaciones lógicas: suma, producto y negación. Por ejemplo, la función lógica del enunciado: .
Una misma función puede representarse por varias expresiones matemáticas equivalentes. Entre ellas existen dos especialmente interesantes:
b.1) Suma de minterms. Los minterms son el producto de todas las entradas, asociando la variable sin negar (A,B,C,D) si toma el valor 1en la tabla de verdad y negada
si toma el valor 0. Se representa por mi los productos canónicos, con "i" igual al valor decimal de la combinación binaria que se obtiene al sustituir por 1 las variables que aparecen (en el producto canónico) en forma natural y por 0 a las que lo hacen en forma negada. En la siguiente tabla de verdad de "f" tenemos los minterms para cuatro entradas A, B, C y D.
b.2) Producto de Maxterms. Los Maxterms son la suma de todas las entradas, asociando la variable negada
D C B A Maxterms f minterms 
Los Maxterms que aparecerán en la expresión de la función son aquellos que corresponden a un 0 en la tabla de verdad de f . Por tanto:
Para expresar como suma de minterms la función f = M1M2M3M4M5M6M7M8M10M12M14 , realizamos la tabla de verdad; sabiendo que en la posición de cada Maxterm que aparece en la expresión de la función corresponde un 0 en la tabla de verdad a la función. Los minterms, por el contrario, que aparecen en la expresión de la función son los que corresponden a un 1 de "f" en la tabla de verdad.
| D | C | B | A | Maxterms | f | minterms |
|---|---|---|---|---|---|---|
0 |
0 |
0 |
0 |
M15=  |
1 |
m0=  |
0 |
0 |
0 |
1 |
M14=  |
0 |
m1=  |
0 |
0 |
1 |
0 |
M13=  |
1 |
m2=  |
0 |
0 |
1 |
1 |
M12=  |
0 |
m3=  |
0 |
1 |
0 |
0 |
M11=  |
1 |
m4=  |
0 |
1 |
0 |
1 |
M10=  |
0 |
m5= |
0 |
1 |
1 |
0 |
M9=  |
1 |
m6=  |
0 |
1 |
1 |
1 |
M8=  |
0 |
m7=  |
1 |
0 |
0 |
0 |
M7=  |
0 |
m8=  |
1 |
0 |
0 |
1 |
M6=  |
0 |
m9=  |
1 |
0 |
1 |
0 |
M5=  |
0 |
m10=  |
1 |
0 |
1 |
1 |
M4=  |
0 |
m11=  |
1 |
1 |
0 |
0 |
M3=  |
0 |
m12=  |
1 |
1 |
0 |
1 |
M2=  |
0 |
m13=  |
1 |
1 |
1 |
0 |
M1=  |
0 |
m14=  |
1 |
1 |
1 |
1 |
M0=  |
1 |
m15=  |
Por tanto, la respuesta correcta es: c) f = m0+m2+m4+m6+m15.
¿Qué término podría añadirse a la función lógica f = m0+m2+m3+m8+m11 para optimizar la simplificación por el mapa de Karnaugh? El mapa de Karnaugh es la tabla de verdad dispuesta de otra manera: en una tabla colocamos las combinaciones de las entradas D y C en una columna y las de B y A en la fila. Las combinaciones de D y C no pueden cambiar de estado lógico las dos a la vez en dos filas consecutivas del mapa y tampoco las de B y A..
| DC | BA | 00 |
01 |
11 |
10 |
|---|---|---|---|---|---|
| 00 |
m0 |
m1 |
m3 |
m2 |
|
01 |
m4 |
m5 |
m7 |
m6 |
|
| 11 | m12 |
m13 |
m15 |
m14 |
|
| 10 | m8 |
m9 |
m11 |
m10 |
|
En las posiciones de los minterms que aparecen en la expresión de la función lógica f = m0+m2+m3+m8+m11 se pone un 1 y en las demás 0. Simplificación: seleccionamos los "1"s del mapa de tal manera que los asociemos adyacentes en potencias de 2 ( 1, 2, 4, 8, etc), con las asociaciones más grandes posibles y la menor cantidad de ellas, sin dejar ningún "1" sin seleccionar. Los "1"s pueden pertenecer a varias asociaciones y las dos columnas (y filas) de los extremos son adyacentes entre sí.
Vamos a comprobar cómo se obtendría la mayor simplificación al añadir cada uno de los términos del enunciado:
a) Añadimos m10
En las asociaciones elegidas las entradas que cambian de estado se eliminan de la combinación: En los cuatro unos de las esquinas cambian D y B: En los otros cuatro unos cambian D y A: f queda reducida a dos términos de dos variables.
|
b) Añadimos m14
En los dos unos verticales de la izquierda cambia D. En los dos unos verticales de la derecha cambia D. En los dos unos horizontales de la derecha cambia A. El uno que queda sólo no admite simplificación: Aquí quedan cuatro asociaciones, es decir cuatro términos, luego no es más simple que a).
|
c)Añadimos m15
En los dos unos verticales de la izquierda cambia D. En los dos unos verticales de la derecha cambia C. En los dos unos horizontales de la derecha cambia A. Aquí quedan tres asociaciones, es decir tres términos, luego no es más simple que a)
|
d) Añadimos m9
En los dos unos verticales de la izquierda cambia D. En los dos unos horizontales de la derecha cambia A. En los dos unos horizontales del medio cambia B. Aquí quedan tres asociaciones, es decir tres términos, luego no es más simple que a)
|
Por tanto, la solución es a).
